知识点：《希伯特》 收集：冉埠酌 编辑：桂花
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《希伯特》相关知识
大卫·希尔伯特（David Hilbsert,1862～1943）,德国数学家,他与另外一位法国数学家亨利·庞加莱一起,被称为数学史上“最后两位全才”.
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
1． 连续统假设 1874年,康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数,这就是著名的连续统假设.1938年,哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性.1963年,美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的.因此,连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否.希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决.
2． 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性.希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明.1931年,哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法.1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性.
1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出,数学相容性问题尚未解决.
3． 两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是,存在两个等边等高的四面体,它们不可分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等.M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答.
4． 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般.满足此性质的几何学很多,因而需增加某些限制条件.1973年,苏联数学家波格列洛夫宣布,在对称距离情况下,问题获得解决.
《中国大百科全书》说,在希尔伯特之后,在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展,但问题并未解决.
5.一个连续变换群的李氏概念,定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性,即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群?中间经冯·诺伊曼（1933,对紧群情形）、邦德里雅金（1939,对交换群情形）、谢瓦荚（1941,对可解群情形）的努力,1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决,得到了完全肯定的结果.
6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理,首先是概率和力学.1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化.后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功.但是物理学是否能全盘公理化,很多人表示怀疑.
7.某些数的无理性与超越性 1934年,A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分,即对于任意代数数α≠0 ,1,和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性.
8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等.一般情况下的黎曼猜想仍待解决.哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966）,但离最解决尚有距离.目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润.
9．在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决.
10． 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根,称为丢番图方程可解.希尔伯特问,能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性?1970年,苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在.
11． 系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936,1951）在这个问题上获得重要结果.
12． 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果,离彻底解决还相差很远.
13． 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程 的根依赖于3个参数a、b、c,即x=x （a,b,c）.这个函数能否用二元函数表示出来?苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957）,维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）.但如果要求是解析函数,则问题尚未解决.
14． 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关.1958年,日本数学家永田雅宜给出了反例.
15． 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观解法.希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础.现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学不密切联系.但严格的基础迄今仍未确立.
16． 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分.前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目.后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3,但这一结论是错误的,已由中国数学家举出反例（1979）.
17． 半正定形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0,是否都能写成平方和的形式?1927年阿廷证明这是对的.
18． 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决.
19． 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少.C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果.
20． 一般边值问题 这一问题进展十分迅速,已成为一个很大的数学分支.目前还在继续研究.
21． 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决.
22． 由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论,1907年P.克伯获重要突破,其他方面尚未解决.
23． 变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题,只是谈了对变分法的一般看法.20世纪以来变分法有了很大的发展.
这23问题涉及现代数学大部分重要领域,推动了20世纪数学的发展.
参考思路：
是Hilbert，中文翻译为希尔伯特或者希伯特
Hilbert提出的23个问题
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
1． 连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛...
知识拓展：
1：数学家的故事,数学家的名言
知识要点归纳：
陈景润的小故事：陈景润出生在贫苦的家庭,母亲生下他来就没有奶汁,靠向邻居借熬米汤活过来.快上学的年龄,因为当邮局小职员的父亲的工资太少,供大哥上学,母亲还要背着不满两岁的小妹妹下地干活挣钱.这样,平日照看3岁小弟弟的担子就落在小景润的肩上.白天,他带领小弟弟坐在小板凳上,数手指头玩；晚上,哥哥放了学,就求哥哥给他讲算数.稍大一点,挤出帮母亲下地干活的空隙,忙着练习写字和演算.母亲见他学习心切,就把他送进了城关小学.别看他长得瘦小,可十分用功,成绩很好,因而引起有钱人家子弟的嫉妒,对他拳打脚踢.他打不过那些人,就淌着泪回家要求退学,妈妈抚摸着他的伤处说：“孩子,只怨我们没本事,家里穷才受人欺负.你要好好学,争口气,长大有出息,那时他们就不敢欺负咱们了!”小景润擦干眼泪,又去做功课了.此后,他再也没流过泪,把身心所受的痛苦,化为学习的动力,成绩一直拔尖,终于以全校第一名的成绩考入了三元县立初级中学. 在初中,他受到两位老师的特殊关注：一位是年近花甲的语文老师,原是位教授,他目睹日本人横行霸道,国民党却节节退让,感到痛心疾首,只可惜自己年老了,就把希望寄托于下一代身上.他看到陈景润勤奋刻苦,年少有为,就经常把他叫到身边,讲述中国5000年文明史,激励他好好读书,肩负起拯救祖国的重任.老师常常说得满眼催泪,陈景润也含泪表示,长大以后,一定报效祖国!另一位是不满30岁的数学教师,毕业于清华大学数学系,知识非常丰富.陈景润最感兴趣的是数学课,一本课本,只用两个星期就学完了.老师觉得这个学生不一般,就分外下力气,多给他讲,并进一步激发他的爱国热情,说：“一个国家,一个民族,要想强大,自然科学不发达是万万不行的,而数学又是自然科学的基础.”从此,陈景润就更加热爱数学了.一直到初中毕业,都保持了数学成绩全优的记录. 祖国陈景润光复后,陈景润考入福州英华书院念高中.在这里,他有幸遇见使他终生难忘的沈元老师.沈老师曾任清华大学航空系主任,当时是陈景润的班主任兼教数学、英语.沈老师学问渊博,循循善诱,同学们都喜欢听他讲课.有一次,沈老师出了一道有趣的古典数学题：“韩信点兵”.大家都闷头算起来,陈景润很快小声回答：“53人”.全班为他算得速度之快惊呆了,沈老师望着这个平素不爱说话、衣服槛楼的学生问他是怎么得出来的?陈景润的脸羞红了,说不出话,最后是用笔在黑板上写出了方法.沈老师高兴地说：“陈景润算得很好,只是不敢讲,我帮他讲吧!”沈老师讲完,又介绍了中国古代对数学贡献,说祖冲之对圆周率的研究成果早于西欧1000年,南宋秦九韶对“联合一次方程式”的解法,也比意大利数学家欧拉的解法早500多年.沈老师接着鼓励说：“我们不能停步,希望你们将来能创造出更大的奇迹,比如有个‘哥德巴赫猜想’,是数论中至今未解的难题,人们把它比做皇冠上的明珠,你们要把它摘下来!”课后,沈老师问陈景润有什么想法,陈景润地说：“我能行吗?”沈老师说：“你既然能自己解出‘韩信点兵’,将来就能摘取那颗明珠：天下无难事,只怕有心人啊!”那一夜,陈景润失眠了,他立誓：长大无论成败如何,都要不惜一切地去努力!
2：数学家有哪些?
知识要点归纳：
牛顿、欧拉、莱布尼茨、阿基米德、高斯 等等,有很多
中国的有 华罗庚、陈景润、丘成桐 等
3：关于数学家的故事
知识要点归纳：
我有两个高斯的
高斯念小学的时候,有一次在老师教完加法后,因为老师想要休息,所以便出了一道题目要同学们算算看,题目是：
1+2+3+ . +97+98+99+100 = ?
老师心里正想,这下子小朋友一定要算到下课了吧!正要借口出去时,却被 高斯叫住了! 原来呀,高斯已经算出来了,小朋友你可知道他是如何算的吗?
高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加,也就是说：
1+2+3+4+ . +96+97+98+99+100
100+99+98+97+96+ . +4+3+2+1
=101+101+101+ . +101+101+101+101
共有一百个101相加,但算式重复了两次,所以把10100 除以 2便得到答案等于
从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学,也因此奠定了他以后的数学基础,更让他成为——数学天才!
1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.
前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17边形.
他感到非常吃力.时间一分一秒的过去了,第三道题竟毫无进展.这位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助.
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案.
当窗口露出曙光时,青年长舒了一口气,他终于完成了这道难题.
见到导师时,青年有些内疚和自责.他对导师说：“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看,当即惊呆了.他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗?”青年有些疑惑地看着导师,回答道：“是我做的.但是,我花了整整一个通宵.”
导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他当着自己的面再做出一个正17边形.
青年很快做出了一上正17边形.导师激动地对他说：“你知不知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米德没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是一个真正的天才!”
原来,导师也一直想解开这道难题.那天,他是因为失误,才将写有这道题目的纸条交给了学生.
每当这位青年回忆起这一幕时,总是说：“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我可能永远也没有信心将它解出来.”
这位青年就是数学王子高斯.
4：【有关于数学家的故事】
知识要点归纳：
高斯念小学的时候,有一次在老师教完加法后,因为老师想要休息,所以便出了一道题目要同学们算算看,题目是： 1+2+3+ . +97+98+99+100 = ? 老师心里正想,这下子小朋友一定要算到下课了吧!正要借口出去时,却被 高斯叫住了! 原来呀,高斯已经算出来了,小朋友你可知道他是如何算的吗? 高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加,也就是说： 1+2+3+4+ . +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ . +4+3+2+1 =101+101+101+ . +101+101+101+101 共有一百个101相加,但算式重复了两次,所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050> 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学,也因此奠定了他以后的数学基础,更让他成为——数学天才
陈景润不爱玩公园,不爱逛马路,就爱学习.学习起来,常常忘记了吃饭睡觉.
有一天,陈景润吃中饭的时候,摸摸脑袋,哎呀,头发太长了,应该快去理一理,要不,人家看见了,还当他是个姑娘呢.于是,他放下饭碗,就跑到理发店去了.
理发店里人很多,大家挨着次序理发.陈景润拿的牌子是三十八号的小牌子.他想：轮到我还早着哩.时间是多么宝贵啊,我可不能白白浪费掉.他赶忙走出理发店,找了个安静的地方坐下来,然后从口袋里掏出个小本子,背起外文生字来.他背了一会,忽然想起上午读外文的时候,有个地方没看懂.不懂的东西,一定要把它弄懂,这是陈景润的脾气.他看了看手表,才十二点半.他想：先到图书馆去查一查,再回来理发还来得及,站起来就走了.谁知道,他走了不多久,就轮到他理发了.理发员叔叔大声地叫：“三十八号!谁是三十八号?快来理发!”你想想,陈景润正在图书馆里看书,他能听见理发员叔叔喊三十八号吗?
过了好些时间,陈景润在图书馆里,把不懂的东西弄懂了,这才高高兴兴地往理发店走去.可是他路过外文阅览室,有各式各样的新书,可好看啦.又跑进去看起书来了,一直看到太阳下山了,他才想起理发的事儿来.他一摸口袋,那张三十八号的小牌子还好好地躺着哩.但是他来到理发店还有啥用呢,这个号码早已过时了.
陈景润进了图书馆,真好比掉进了蜜糖罐,怎么也舍不得离开.可不,又有一天,陈景润吃了早饭,带上两个馒头,一块咸菜,到图书馆去了.
陈景润在图书馆里,找到了一个最安静的地方,认认真真地看起书来.他一直看到中午,觉得肚子有点饿了,就从口袋里掏出一只馒头来,一面啃着,一面还在看书.
“丁零零……”下班的铃声响了,管理员大声地喊：“下班了,请大家离开图书馆!”人家都走了,可是陈景润根本没听见,还是一个劲地在看书呐.
管理员以为大家都离开图书馆了,就把图书馆的大门锁上,回家去了.
时间悄悄地过去,天渐渐地黑下来.陈景润朝窗外一看,心里说：今天的天气真怪!一会儿阳光灿烂,一会儿天又阴啦.他拉了一下电灯的开关线,又坐下来看书.看着看着,忽然,他站了起来.原来,他看了一天书,开窍了.现在,他要赶回宿舍去,把昨天没做完的那道题目,继续做下去.
陈景润把书收拾好,就往外走去.图书馆里静悄悄的,没有一点儿声音.哎,管理员上哪儿去了呢?来看书的人怎么一个也没了呢?陈景润看了一下手表,啊,已经是晚上八点多钟了.他推推大门,大门锁着；他朝门外大声喊叫：“请开门!请开门!”可是没有人回答.
要是在平时,陈景润就会走回座位,继续看书,一直看到第二天早上.可是,今天不行啊!他要赶回宿舍,做那道没有做完的题目呢!
他走到电话机旁边,给办公室打电话.可是没人来接,只有嘟嘟的声音.他又拨了几次号码,还是没有人来接.怎么办呢?这时候,他想起了党委书记,马上给党委书记拨了电话.
“陈景润?”党委书记接到电话,感到很奇怪.他问清楚是怎么一回事,高兴得不得了,笑着说：“陈景润!陈景润!你辛苦了,你真是个好同志.”
党委书记马上派了几个同志,去找图书馆的管理员.图书馆的大门打开了,陈景润向管理员说：“对不起!对不起!谢谢,谢谢!”他一边说一边跑下楼梯,回到了自己的宿舍.
他打开灯,马上做起那道题目起来
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